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求教一道高等数学高阶导数题已知f(x)具有任意阶导数,且f'(x)=[f(x)]^2,则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数为:________
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更新时间:2024-04-26 06:38:09
问题描述:

求教一道高等数学高阶导数题

已知f(x)具有任意阶导数,且f'(x)=[f(x)]^2,则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数为:________

龚锐回答:
  解∵f(x)具有任意阶导数,且f'(x)=[f(x)]^2   ∴f''(x)=2f(x)f'(x)=2![f(x)]^3   f'''(x)=3![f(x)]^4   .   f(x)的n阶导数=n![f(x)]^(n+1)(n=2,3,4,.)   现在用数学归纳法证明它的正确性:   (1)当n=2时,左边=2f(x)f'(x)=2[f(x)]^3   右边=2![f(x)]^3=2[f(x)]^3   ∴左边=右边,原式成立.   (2)假设当n=k时,原式成立,即f(x)的k阶导数=k![f(x)]^(k+1)   当n=k+1时,左边=f(x)的(k+1)阶导数   =k!(k+1)[f(x)]^k*f'(x)   =(k+1)![f(x)]^k*[f(x)]^2   =(k+1)![f(x)]^(k+2)   =右边   综合(1),(2)知f(x)的n阶导数=n![f(x)]^(n+1)(n=2,3,4,.)
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